已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),求证:向量a与向量b不可能平行.

问题描述:

已知

a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx-sinx,2cosx),求证:向量
a
与向量
b
不可能平行.

假设

a
b
,则2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0,
化为2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,1+cos2x+
1
2
sin2x
+
1−cos2x
2
=0,
化为sin2x+cos2x+3=0,
2
sin(2x+
π
4
)+3=0

sin(2x+
π
4
)=−
3
2
2
这与sin(2x+
π
4
)∈[−1,1]
矛盾.
故假设不成立,
∴原结论正确,即向量
a
与向量
b
不可能平行.