已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),求证:向量a与向量b不可能平行.
问题描述:
已知
=(cosx+sinx,sinx),a
=(cosx-sinx,2cosx),求证:向量b
与向量a
不可能平行. b
答
假设
∥a
,则2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0,b
化为2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,1+cos2x+
sin2x+1 2
=0,1−cos2x 2
化为sin2x+cos2x+3=0,
∴
sin(2x+
2
)+3=0,π 4
∴sin(2x+
)=−π 4
这与sin(2x+3
2
2
)∈[−1,1]矛盾.π 4
故假设不成立,
∴原结论正确,即向量
与向量a
不可能平行.b