如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°. (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.

问题描述:

如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°.

(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.

(1)证明:连接OB.
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠BAC=30°.                (1分)
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.              (2分)
∵PA切⊙O于点A,
∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°,
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°.         (3分)
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点,
∴PB是⊙O的切线.                            (4分)
(2)连接OP;
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB=

1
2
∠APB=30°.           (5分)
在Rt△OAP中,∠OAP=90°,∠OPA=30°,
∴OP=2OA=2×2=4,(6分)
∴PA=
OP2−OA2
4222
=2
3
.        (7分)
∵PA=PB,∠APB=60°,
∴PA=PB=AB=2
3
.                             (8分)
(此题解法多样,请评卷老师按解题步骤给分)