如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°. (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.
问题描述:
如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.
答
(1)证明:连接OB.
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠BAC=30°. (1分)
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°. (2分)
∵PA切⊙O于点A,
∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°,
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°. (3分)
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点,
∴PB是⊙O的切线. (4分)
(2)连接OP;
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB=
∠APB=30°. (5分)1 2
在Rt△OAP中,∠OAP=90°,∠OPA=30°,
∴OP=2OA=2×2=4,(6分)
∴PA=
=
OP2−OA2
=2
42−22
. (7分)
3
∵PA=PB,∠APB=60°,
∴PA=PB=AB=2
. (8分)
3
(此题解法多样,请评卷老师按解题步骤给分)