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在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC．

分类: 作业答案 • 2022-03-10 22:00:11
问题描述：

在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC．

答

证明：∵△ABC中，

a
sinA
＝
b
sinB
＝
c
sinC
＝2R（R为外接圆的半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴a2sin2B+b2sin2A=2a2sinB•cosB+2b2sinA•cosA
=8R2sinA•sinB•（sinAcosB+sinBcosA）
=8R2sinA•sinB•sin（A+B）
=8R2sinA•sinB•sin（π-C）
=8R2sinA•sinB•sinC，
又2absinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=8R2sinA•sinB•sinC，
∴a2sin2B+b2sin2A=2absinC．

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