设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x2y]dy=0为一全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解．
问题描述：
设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x2y]dy=0为一全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解．
答
因为 Pdx+Q dy=0 是全微分方程的一个必要条件是：∂P∂y=∂Q∂x，所以x2+2xy-f（x）=f″（x）+2xy，即：f″（x）+f（x）=x2． （1）因为齐次微分方程 f″（x）-f（x）=0 的特征方程为 λ2+1=0，特征根为 λ1，2=±i...
答案解析：利用全微分方程的定义以及必要条件，求出f的表达式；然后利用多元函数全微分的计算以及凑微分法求解微分方程．
考试点：二阶常系数非齐次线性微分方程求解；多元函数全微分的计算；全微分方程的定义．
知识点：本题综合性较强，是一个中档型题目，考察了利用微分方程解的结构求解二阶常系数非齐次微分方程通解的方法、全微分方程的定义与必要条件．