已知随机变量X和Y的联合概率密度为φ（x，y）=4xy ， 0≤x≤1，0≤y≤10 ， 其他．求：X和Y的联合分布函数F（x，y）．
问题描述：
已知随机变量X和Y的联合概率密度为φ（x，y）=
．
4xy ， 0≤x≤1，0≤y≤1 0 ， 其他
求：X和Y的联合分布函数F（x，y）．
答
知识点：此题考查二维连续型随机变量的联合分布的求法，要注意将联合概率密度函数的区域分成几个区域来讨论．
∵X和Y的联合概率密度为：φ（x，y）=
，
4xy ， 0≤x≤1，0≤y≤1 0 ， 其他
∴①当x＜0或y＜0时，有：F(x，y)=
∫
x
-∞
0dxdy=0，
∫
y
-∞
②当0≤x≤1，0≤y≤1时，F(x，y)=
∫
x
0
4uvdudv=x2y2，
∫
y
0
③当x＞1，y＞1时，F(x，y)=
∫
1
0
4uvdudv=1，
∫
1
0
④当x＞1，0≤y≤1时，F(x，y)=
du
∫
1
0
4uvdv=y2，
∫
y
0
⑤当y＞1，0≤x≤1时，F(x，y)=
du
∫
x
0
4uvdv=x2，
∫
1
0
从而，X和Y的联合分布函数为：
F（x，y）=
．
0
，x＜0或y＜0
x2y2
，0≤x≤1，0≤y≤1
x2
，0≤x≤1，y＞1
y2
，x＞1，0≤y≤1
1
，x＞1，y＞1
答案解析：根据二维连续型随机变量的联合分布的定义F(x，y)＝
∫
x
−∞
f(u，v)dudv求出来．
∫
y
−∞
考试点：二维连续型随机变量的分布函数．
知识点：此题考查二维连续型随机变量的联合分布的求法，要注意将联合概率密度函数的区域分成几个区域来讨论．