空间四边形ABCD的四个顶点都为某一长方体的顶点,且AB=CD=6,AC=BD=7,AD=BC=8,则异面直线AC与BD所成角的大小是多少?
问题描述：
空间四边形ABCD的四个顶点都为某一长方体的顶点,且AB=CD=6,AC=BD=7,AD=BC=8,则异面直线AC与BD所成角的大小是多少?
答
分别做AD,BD,BC的中点P,Q,R,
则PQ∥AB,QR∥CD,
∠PQR(或其补角)是异面直线AB与CD所成的角.
PQ=AB/2=3,
QR=CD/2=3,
∵△ABC≌△BCD,
∴AR=DR ,
∴PR⊥AD,
cosC=(BC^+CD^-BD^)/2BC·CD=17/32,
RD^=CR^+CD^-2CR*CD*cosC=53/2,
∴PR^=RD^-PD^=21/2,
∴cos∠PQR=(PQ^+RQ^-PR^)/2PQ·RQ=5/12,
∴,∠PQR=arccos(5/12),
∴异面直线AB与CD所成的角为arccos(5/12)但是题目的条件：四个顶点在长方体顶点上。貌似不满足，我尝试过画图，画的都不符合，不知道题目这个条件是否多余那三个数根本不是勾股数，没有办法垂直。所以，感觉这个条件写的有问题嗯，我就一直纠结这个条件，谢谢啊