求某概率分布的数学期望总体为ξ的概率分布 P(ξ=k)=(k-1)θ^2(1-θ)^(k-2) (k=2,3.) θ为常数 0
问题描述：
求某概率分布的数学期望
总体为ξ的概率分布 P(ξ=k)=(k-1)θ^2(1-θ)^(k-2) (k=2,3.) θ为常数 0
答
E(ξ)=2* P(ξ=2)+3*P(ξ=3)+……
=sigma(k*(k-1)*θ^2(1-θ)^(k-2))
=sigma( (θ^2*(1-θ)^(k))‘’ ）
=（sigma( (θ^2*(1-θ)^(k)) ）‘’
=( θ*(1-θ)^(2) )''
=6*θ -4
答
由定义得：
E(ξ)=∑KP(ξ=k)=∑K(k-1)(1-θ)^(k-2)θ^2
利用等式：K(k-1)(1-θ)^(k-2)=[(1-θ)^(k)]''
因此有：E(ξ)=θ^2∑[(1-θ)^(k)]''（交换求和与求导秩序得）=θ^2{∑[(1-θ)^(k)]}''
其中和式∑[(1-θ)^(k)]=[(1-θ)^2/θ],其二阶导数为2/θ^3
最后算得：E(ξ)=2/θ