（文科）已知函数f(x)＝1/3ax3+bx2+2x−1，g(x)＝−x2+x+1，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直． （1）求实数a，b的值； （2）对
问题描述：
（文科）已知函数f(x)＝
ax3+bx2+2x−1，g(x)＝−x2+x+1，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．1 3
（1）求实数a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，不等式f（x1）+k<g（x2）恒成立，求实数k的取值范围．
答
（文科） （1）∵g(1)=1=f(1)=
a+b+1⇒a+3b=0．1 3
又g'（x）=-2x+1，∴g'（1）=-1．
∵两双曲线在点P处的切线互相垂直，
∴f'（1）=1．
∵f'（x）=ax2+2bx+2，
∴f'（1）=a+2b+2=1，
∴
⇒a=-3，b=1．
a+3b=0 a+2b+1=0
（2）∵f（x）=-x3+x2+2x-1
对任意的x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k<g（x2）恒成立，
∴f（x）max+k<g（x）min（x∈[-1，1]），
∵f'（x）=-3x2+2x+2，
则f'（x）>0得
<x<1-
7
3
，1+
7
3
∴函数f（x）在[-1，
]上递减，在[1-
7
3
，1]上递增1-
7
3
而f（-1）=-1，f（1）=1，
∴f（x）max=f（1）=1，
而g(x)=-x2+x+1=-(x-
)2+1 2
5 4
当x∈[-1，1]时，g（x）min=g（-1）=1
故1+k<-1，
k<-2，
∴实数k的取值范围是（-∞，-2）．