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已知椭圆x22+y2＝1及点B（0，-2），过点B作直线l与椭圆交于C、D两点．（1）试确定直线l的斜率k的取值范围；（2）若直线l经过椭圆的左焦点F1，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积．

分类: 作业答案 • 2022-03-07 13:06:41

问题描述：

已知椭圆

x2

2

+y2＝1及点B（0，-2），过点B作直线l与椭圆交于C、D两点．

（1）试确定直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l经过椭圆的左焦点F₁，椭圆的右焦点为F₂，求△CDF₂的面积．

答

（1）设直线l：y=kx-2，联立椭圆方程，消去y得：（1+2k²）x²-8kx+6=0（*）
由于直线和椭圆相交两个点，故△=8（2k²-3）＞0，得：k＞

6

2

或k＜

6

2

．
（2）直线l经过点B（0，-2）和F₁（-1，0），所以l：2x+y+2=0
点F₂（1，0）到l的距离d＝

4

5

联立直线和椭圆方程得：9x²+16x+6=0，
∴|CD|＝|x1−x2|

1+k2

＝

10

9

2

∴S△＝

1

2

|CD|d＝

4

9

10

．