已知双曲线x²-y²=1,求以点A(2,1)为中点的弦的方程
问题描述：
已知双曲线x²-y²=1,求以点A(2,1)为中点的弦的方程
答
利用点差法求解
设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2)
则 x1+x2=4,y1+y2=2
且 x1²-y1²=1 ①
x2²-y2²=1 ②
①-②
(x1²-x2²)-(y1²-y2²)=0
∴ (x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0
∴ k(AB)=(y2-y1)/(x1-x2)=(x1+x2)./(y1+y2)=4/2=2
∴ 直线方程为 y-1=2(x-2)
即 以点A(2,1)为中点的弦的方程是2x-y-3=0
答
设直线与双曲线的交点是(x,y)则另一个交点是(4-x,2-y)
分别代入双曲线方程得
x^2-y^2=1
(4-x)^2-(2-y)^2=1
两式相减得所求直线方程
8x-16-4y+4=0
即
2x-y-3=0