a+b=4,C=60°,求△ABC周长的最小值和面积的最大值

c^2=a^2+b^2-2abcosC=(a+b)^2-2ab-2abcos60
=4^2-2ab-ab=16-3ab
当ab取得最大值时，c有最小值，此时周长也最小。
均值不等式： √ab ≤ (a+b)/2=2, ab≤4, 当且仅当a=b时等号成立。
c^2≥16－3×4＝4， c≥2
周长＝a+b+c≥4+2=6
面积S＝1/2 absinC≤1/2 *4 sin60=√3
即周长最小6。面积最大√3

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=16
abc^2=a^2+b^2-2abcosC
=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=16-3ab
c^2min=16-4*3=4
cmin=2
△ABC周长的最小值a+b+c=4+2=6
面积=1/2absinC面积的最大值√3

S=absin60/2 4=a+b>=2√ab ab=c^2=a^2+b^2-2abcos60 c^2=a^2+b^2-ab c^2 =(a+b)^2-3ab
ab==4 c>=2 周长>=6 周长的最小值=6

根据余弦定理得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
=16-2*a*b-2*a*b*CosC
=16-2*a*b*(1+CosC)
=16-3*a*b
当a*b的值最大的时候 c的值最小 周长也最小
根据均值不等式可知a^2+b^2大于等于2*a*b 等号在a=b的时候成立
此时a*b=4 则c^2=16-3*4=4 即c=2
则周长=4+2=6
S(abc)=1/2*ab*sinC
abso S(abc)

余弦定理得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
=16-2*a*b-2*a*b*CosC
=16-2*a*b*(1+CosC)
=16-3*a*b
当a*b的值最大的时候 c的值最小 周长也最小
根据均值不等式可知a^2+b^2≥2*a*b 在a=b的时候取等号,此时a*b=4
则c^2≥16-3*4=4 即c=2
则周长最小值=4+2=6
S=1/2*ab*sinC≤0.5*4*（根号3）/2≤根号3
S（max)=根号3