在椭圆或双曲线中如何证明焦点三角形S=b^2·cot(C/2)
问题描述：
在椭圆或双曲线中如何证明焦点三角形S=b^2·cot(C/2)
要思路就好.
答
任意一点与2焦点的面积是 b^2*(cot夹角/2)
设双曲线上一点与两焦点的连线长分别为m,n
由双曲线定义有m-n=2a
由余弦定理有m^2+n^2-2mncosC=4c^2
将第一式平方后与第二式作差得到mn(1-cosC)=2b^2
所以mn=2b^2/(1-cosC)
三角形面积S=1/2mnsinC
=b^2sinC/(1-cosC)
=b^2*2sin(C/2)cos(C/2)/[2(sin(C/2)^2]
=b^2*cot(C/2)在椭圆中，这个式子也成立吗？不是这个椭圆焦点三角形面积公式为S=b²tan(θ/2),公式的推导： 椭圆：|PF1|+|PF2|=2a,① |PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cosθ=4c²②①²-②|2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4(a²-c²)=4b²∴|PF1||PF2|=2b²/(1+cosθ)∴S=1/2*|PF1||PF2|sinθ=b²*sinθ/(1+cosθ)=b²*(2sinθ/2cosθ/2)/(2cos²θ/2)=b²*tanθ/2