已知函数f(x)=x2+aln x. (I)当a=-2时,求函数f(x)的极值; (II)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.
问题描述:
已知函数f(x)=x2+aln x.
(I)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(II)若g(x)=f(x)+
在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围. 2 x
答
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
当a=-2时,f′(x)=2x−
=2 x
2(x+1)(x−1) x
当x变化时,f′(x),f(x)的值变化情况如下表
由上表可知,函数f(x)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)
极小值是f(1)=1,没有极大值
(2)由g(x)=x2+alnx+
得g′(x)=2x+2 x
−a x
2 x2
因为g(x)在[1,+∞)上是单调增函数
所以g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立
即不等式2x+
−a x
≥0在[1,+∞)上恒成立即a≥ 2 x2
−2x2在[1,+∞)上恒成立2 x
令∅(x)=
−2x2则∅′(x)=−2 x
−4x当x∈[1,+∞)时,∅′(x)=−2 x2
−4x<02 x2
∴∅(x)=
−2x2在[1,+∞)上为减函数2 x
∅(x)的最大值为∅(1)=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0,+∞)