已知函数f(x)=x2+aln x. (I)当a=-2时,求函数f(x)的极值; (II)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=x2+aln x.
(I)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(II)若g(x)=f(x)+

2
x
在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.

(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
当a=-2时,f′(x)=2x−

2
x
2(x+1)(x−1)
x

当x变化时,f′(x),f(x)的值变化情况如下表

由上表可知,函数f(x)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)
极小值是f(1)=1,没有极大值
(2)由g(x)=x2+alnx+
2
x
得g′(x)=2x+
a
x
2
x2

因为g(x)在[1,+∞)上是单调增函数
所以g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立
即不等式2x+
a
x
2
x2
≥0
在[1,+∞)上恒成立即a≥ 
2
x
 −2x2
在[1,+∞)上恒成立
∅(x)=
2
x
−2x2
∅′(x)=−
2
x2
−4x
当x∈[1,+∞)时,∅′(x)=−
2
x2
−4x<0

∅(x)=
2
x
−2x2
在[1,+∞)上为减函数
∅(x)的最大值为∅(1)=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0,+∞)