已知整数a,b,c使等式(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)对任意x的值均成立.求c的值.

问题描述:

已知整数a,b,c使等式(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)对任意x的值均成立.求c的值.

展开题中等式得:x2+(a+b+c)x+ab-10c=x2-10x-11,
上式对任意x成立.
所以a+b+c=-10,且ab-10c=-11,
消去参数c,得10a+10b+ab=-111,
即(a+10)(b+10)=-11.
因为a,b是整数,且-11=(-1)×11=1×(-11),
所以a+10=1,-1,11,-11,
b+10=-11,11,-1,1,
因此a+b+20=-10,10,即a+b=-30,-10.
从而c=20或0.
答案解析:将已知等式展开整理为关于x的二次三项式,比较系数得a+b+c=-10,且ab-10c=-11,消去c,整理为(a+10)(b+10)=-11,再根据a、b为整数,得a+10,b+10也为整数,又-11=(-1)×11=1×(-11),再分别求出a、b的对应值.
考试点:整数问题的综合运用.
知识点:本题考查了整数问题的综合运用.关键是将已知等式变形,得出关于a、b、c的等量关系,再根据整数的性质求a、b、c的值.