如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.(1)求点A与点C的坐标;(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.

问题描述:

如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.

(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.

(1)∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
∴顶点A的坐标为(1,-2).
∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
∴二次函数y=ax2+bx的对称轴为:直线x=1,
∴点C和点O关于直线x=1对称,
∴点C的坐标为(2,0).
(2)因为四边形AOBC是菱形,所以点B和点A关于直线OC对称,
因此,点B的坐标为(1,2).
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B(1,2),C(2,0),
所以

a+b=2
4a+2b=0

解得
a=−2
b=4

所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x.
答案解析:(1)二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上,可知两个函数对称轴相等,因此先根据已知函数求出对称轴.根据函数解析式得出顶点A的坐标与对称轴,故可得出二次函数y=ax2+bx关于x=1对称,且函数与x轴的交点分别是原点和C点,所以点C和点O关于直线l对称,故可得出点C的坐标;
(2)因为四边形AOBC是菱形,根据菱形性质,可以得出点O和点C关于直线AB对称,点B和点A关于直线OC对称,因此,可求出点B的坐标,根据二次函数y=ax2+bx的图象经过点B(1,2),C(2,0),将B,C代入解析式得出ab的值,进而得出其解析式.
考试点:二次函数综合题.

知识点:本题主要考查利用二次函数和菱形的对称性求有关的点,再用待定系数法求二次函数解析式,是难度中等的考题.