已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对∀x∈R，f(34−x)＝f(34+x)成立；③当x∈(−32，−34]时，f（x）=log2（-3x+1），则f（2011）=______．
问题描述：
已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对∀x∈R，f(
−x)＝f(3 4
+x)成立；③当x∈(−3 4
，−3 2
]时，f（x）=log2（-3x+1），则f（2011）=______． 3 4
答
由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，
即f（x）=-f（-x）对任何x都成立，
由②得出f(−x)＝f(
+x)3 2
∴f(
+x)＝−f(x)3 2
∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2011）=f（1）=-f（-1）=-log24=-2，
故答案为：-2
答案解析：由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，由②得出f(−x)＝f(
+x)两者结合得出函数的周期性，再结合③即可求出f（2011）．3 2
考试点：函数的值；函数的周期性；对数的运算性质．
知识点：本题考查函数的对称性与周期性的性质，知识性较强．解答的关键是由函数的对称性得出函数的周期性．