..已知二次函数f(x),f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1 求f(x)

f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1得
f(1)=1
设f(x) =ax平方+bx+c
f(0)=0得c=0
带入f(x+1)=f(x)+x+1得
a（x+1）平方+b（x+1）=ax平方+bx+x+1
化简得2ax+a+b=x+1
得2a=1 a+b=1 得 a=1/2 b=1/2
带入f(x) =1/2x平方+ 1/2x

经计算f(x)=0

二次函数f(x),f(0)=0
设f(x)=a*x^2+bx
f(x+1)=a*(x+1)^2+b*(x+1)=a*x^2+b*x+x+1
整理得
(2a+b)x+a+b=(b+1)*x+1
可知
(2a+b)=b+1
a+b=1
得a=b=0.5
f(x)=0.5*x^2+0.5x

用叠加的方法求解
f(1)=f(0)+0+1
f(2)=f(1)+1+1
f(3)=f(2)+2+1
…
f(x)=f(x-1)+x-1+1
叠加 左右相消 得 f(x)=f(0）+(0+1+…+x-1)+x
=1/2(x^2+x)

用整式除法可以轻松解出这道题
f(0)=0,说明没有常数项,可以设f(x)=ax^2+bx
f(x+1)=f(x)+x+1
f(x+1)=ax^2+(b+1)x+1
用ax^2+(b+1)x+1除以x+1
得到:b=1/2,a=1/2
因此,f(x)=1/2x^2+1/2x

∵f(x+1)=f(x)+x+1
∴f(x)=f(x-1)+x
∴f(x)-f(x-1)=x
∴f(x)-f(1)=(2+3+4+……+x)
∵f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，
∴f(1）=0+0+1=1
∴f(x)=x²/2+1/2