如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.

亦即，方程2(m+1)x²+4mx+2m-1=0至少有一个正实数根。
m=-1时：方程只有一个解，x=-3/4,不符题目，排除；
m≠-1时：因为方程至少有一个正实数根，
所以 (4m)^2-4*2(m+1)(2m-1)>=0
8(1-m)>=0
mm=1时，方程只有一个实数根：-1/2，不符合题目要求，排除；
m根据韦达定理：若为两个正根：
-4m/(2m+2)>0,（2m-1)/(2m+2)>0
解得：0若为一正一负：
（2m-1)/(2m+2)解得：-1若为一正一零：
2m-1=0,m=1/2,此时另一个根为-2/3，排除；
因为：m所以，最终m的范围就是：(-1,1/2)

判别式>=0 (4m)^2-4*2(m+1)*(2m-1)>= 1-m>=0 m

分类讨论：(1)当m+1=0,即m=-1时,f(x)=-4x-3,在(0,+∞)上无零点,舍去(2)当m+1≠0时,f(x)是二次函数,f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1首先要求f(x)=0有实数根,△=16m²-8(m+1)(2m-1)≥02m²-(2m²+m-1)≥01-m...

分两种情况：
(1)为一次函数时:
即二次项系数为0,2(m+1)＝0,m=-1
f(x)＝-4x-3，为直线方程
令y=0,x=-3，不属于(0,+∞)，舍弃！
(2)为二次函数，
二次项系数不为0,即m≠-1时
也分2种情况考虑：
a.开口向上
即m>-1，
令f(0)f(0)＝2m-1∴-1b.开口向下
m令f(0)>0，则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
f(0)=2m-1>0,m>0.5
矛盾。
综上：m∈(-1,0.5)