已知函数f（x）=x3+ax2-2ax+3a2，且在f（x）图象一点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是（ ）A. （-1，1）B. (23，1)C. (−23，1)D. (−1，23)
问题描述：
已知函数f（x）=x3+ax2-2ax+3a2，且在f（x）图象一点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是（ ）
A. （-1，1）
B. (
，1)2 3
C. (−
，1)2 3
D. (−1，
) 2 3
答
由题意f'（x）=3x2+2ax-2a∴f′（1）=3，f（1）=3a2-a+1，即函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，∴图象在点（1，f（1））处的切线方程为y-（3a2-a+1）=3（x-1），令x=0得y=3a2-a-2，由题意得3a2-a-2＜...
答案解析：先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（1），由于切点为（1，f（1）），故由点斜式即可得所求切线的方程，最后利用切线在y轴上的截距小于0建立不等关系求解即可．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查计算能力和等价转化能力，是一道中档题．