如图,已知AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交△ABC的外接圆于点G.求证:DH=DG.
问题描述:
如图,已知AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交△ABC的外接圆于点G.求证:DH=DG.
答
连结CG,
∵AD⊥BC,∴∠ABC+∠GAB=90°
同理可得∠ABC+∠FCB=90°,从而得到∠GAB=∠FCB=90°-∠ABC
又∵∠GAB与∠GCB同对弧BG,
∴∠GAB=∠GCB,可得∠GCB=∠FCB,
∵CD⊥GH,即CD是△GCH的高线
∴△CHG是以HG为底边的等腰三角形,可得DH=DG.
答案解析:连结CG,利用同角的余角相等证出∠GAB=∠FCB=90°-∠ABC.根据同弧所对 的圆周角相等,证出∠GCB=∠FCB,从而得出∠GCB=∠FCB,得△CHG是以HG为底边的等腰三角形,利用“三线合一”证出DH=DG.
考试点:与圆有关的比例线段.
知识点:本题给出圆内接三角形的垂心,求证线段相等.着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质等知识,属于基础题.