已知函数f（x）=sin（2x+π/6)+sin（2x -π/6)+2cos²x（1）求f（x）的最小正周期（2）求f（x）的最大值以及此时x的取值麻烦再解一下一道已知csc（x-β）=3sin（x+β)求1/2sin²2x+sin²β+cos四次方x的值

1（1）先补充一个公式，sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]，叫和差化积，本身是一组，对三角化简很有用，所以这道题sin（2x+π/6)+sin（2x -π/6)利用和差化积可得，√3sin2x（也可以把两个正弦函数和角公式展开，约掉一些项同理可得）
所以f（x）=√3sin2x+1+cos2x=2sin(2x+π/6)+1，因此最小正周期为π
（2）当sin(2x+π/6)=1时取最大，最大值等于3，此时可解得 x=π/6+kπ,k∈Z
2 由csc（x-β）=3sin（x+β)可得3sin(x+β)sin（x-β)=1，利用另一组和差化积公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 ，可得出cos2β-cos2x=2/3
1/4sin²2x+sin²β+(cosx)^4=1/4sin²2x+(1-cos2β)/2+[(cos2x+1)/2]^2=1/4sin²2x+1/2-1/2(cos2β)+1/4cos²2x+1/2(cos2x)+1/4，这个地方我觉得你前面系数可能给错了，应该是1/4sin²2x而不是1/2sin²2x，这样和后面的1/4cos²2x才能结合，否则这道题做不出来。
之后得到原式=1+1/2(cos2x)-1/2(cos2β) ，cos2β-cos2x=2/3
因此最后得到原式=2/3

先化简f（x）=sin（2x+π/6)+sin（2x -π/6)+2cos²x
f（x）=sin2xXcosπ/6+cos2xXsinπ/6+sin2xXcosπ/6-cos2xXsinπ/6+2cos²x
=2sin2xXcosπ/6+2cos²x
=√3Xsin2x+cos2x+1 （cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2=2cos²x-1）
=2(√3/2Xsin2x+1/2Xcos2x)+1
=2sin（2x+π/6)+1
所以f（x）的最小正周期为2π/2=π。
f（x）取最大值时2x+π/6=π/2+2kπ,其中k属于整数，所以x=π/6+kπ，（k属于整数）；
f（x）的最大值为2+1=3.

（1）sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin（2x+π/6)+sin（2x -π/6)√3sin2x（也可以把两个正弦函数和角公式展开，约掉一些项同理可得）
所以f（x）=√3sin2x+1+cos2x=2sin(2x+π/6)+1，因此最小正周期为π
（2）当sin(2x+π/6)=1时取最大，最大值等于3，此时可解得 x=π/6+kπ,k∈Z
2 由csc（x-β）=3sin（x+β)可得3sin(x+β)sin（x-β)=1，利用另一组和差化积公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 ，可得出cos2β-cos2x=2/3
1/4sin22x+sin2β+(cosx)^4=1/4sin22x+(1-cos2β)/2+[(cos2x+1)/2]^2=1/4sin22x+1/2-1/2(cos2β)+1/4cos22x+1/2(cos2x)+1/4，这个地方我觉得你前面系数可能给错了，应该是1/4sin22x而不是1/2sin22x，这样和后面的1/4cos22x才能结合，否则这道题做不出来。
之后得到原式=1+1/2(cos2x)-1/2(cos2β) ，cos2β-cos2x=2/3
因此最后得到原式=2/3

f（x）=sin（2x+π/6)+sin（2x -π/6)+2cos2x
=2sin(2x)*cos(π/6)+2(cosx)^2 积化和差公式
=根号3*sin(2x)+2(cosx)^2
=根号3*sin(2x)+cos(2x)+1 利用了cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2=2*(cosx)^2-1公式
=2*sin（2x+π/6）+1
1.最小周期T=2π/2=π
2.当2x+π/6=π/2+2kπ时，即x=kπ+π/3 ，k为自然数
f(x)取最大值：3

f（x）=sin（2x+π/6)+sin（2x -π/6)+2cos²x
=2sin2xcosπ/6+1-cos2x
=根号3sin2x-cos2x+1
=2sin(2x-π/6)+1
(1),T=2π/2=π
(2),f(x)max=3
sin(2x-π/6)=1
2x-π/6=2kπ+π/2
x-π/12=kπ+π/4
x=kπ+π/3 (k∈Z)