已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)+2cos²x(1)求f(x)的最小正周期(2)求f(x)的最大值以及此时x的取值麻烦再解一下一道已知csc(x-β)=3sin(x+β)求1/2sin²2x+sin²β+cos四次方x的值

问题描述:

已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)+2cos²x
(1)求f(x)的最小正周期
(2)求f(x)的最大值以及此时x的取值
麻烦再解一下一道
已知csc(x-β)=3sin(x+β)求1/2sin²2x+sin²β+cos四次方x的值

1(1)先补充一个公式,sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2],叫和差化积,本身是一组,对三角化简很有用,所以这道题sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)利用和差化积可得,√3sin2x(也可以把两个正弦函数和角公式展开,约掉一些项同理可得)
所以f(x)=√3sin2x+1+cos2x=2sin(2x+π/6)+1,因此最小正周期为π
(2)当sin(2x+π/6)=1时取最大,最大值等于3,此时可解得 x=π/6+kπ,k∈Z
2 由csc(x-β)=3sin(x+β)可得3sin(x+β)sin(x-β)=1,利用另一组和差化积公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 ,可得出cos2β-cos2x=2/3
1/4sin²2x+sin²β+(cosx)^4=1/4sin²2x+(1-cos2β)/2+[(cos2x+1)/2]^2=1/4sin²2x+1/2-1/2(cos2β)+1/4cos²2x+1/2(cos2x)+1/4,这个地方我觉得你前面系数可能给错了,应该是1/4sin²2x而不是1/2sin²2x,这样和后面的1/4cos²2x才能结合,否则这道题做不出来。
之后得到原式=1+1/2(cos2x)-1/2(cos2β) ,cos2β-cos2x=2/3
因此最后得到原式=2/3

先化简f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)+2cos²x
f(x)=sin2xXcosπ/6+cos2xXsinπ/6+sin2xXcosπ/6-cos2xXsinπ/6+2cos²x
=2sin2xXcosπ/6+2cos²x
=√3Xsin2x+cos2x+1 (cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2=2cos²x-1)
=2(√3/2Xsin2x+1/2Xcos2x)+1
=2sin(2x+π/6)+1
所以f(x)的最小正周期为2π/2=π。
f(x)取最大值时2x+π/6=π/2+2kπ,其中k属于整数,所以x=π/6+kπ,(k属于整数);
f(x)的最大值为2+1=3.

(1)sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)√3sin2x(也可以把两个正弦函数和角公式展开,约掉一些项同理可得)
所以f(x)=√3sin2x+1+cos2x=2sin(2x+π/6)+1,因此最小正周期为π
(2)当sin(2x+π/6)=1时取最大,最大值等于3,此时可解得 x=π/6+kπ,k∈Z
2 由csc(x-β)=3sin(x+β)可得3sin(x+β)sin(x-β)=1,利用另一组和差化积公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 ,可得出cos2β-cos2x=2/3
1/4sin22x+sin2β+(cosx)^4=1/4sin22x+(1-cos2β)/2+[(cos2x+1)/2]^2=1/4sin22x+1/2-1/2(cos2β)+1/4cos22x+1/2(cos2x)+1/4,这个地方我觉得你前面系数可能给错了,应该是1/4sin22x而不是1/2sin22x,这样和后面的1/4cos22x才能结合,否则这道题做不出来。
之后得到原式=1+1/2(cos2x)-1/2(cos2β) ,cos2β-cos2x=2/3
因此最后得到原式=2/3

f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)+2cos2x
=2sin(2x)*cos(π/6)+2(cosx)^2 积化和差公式
=根号3*sin(2x)+2(cosx)^2
=根号3*sin(2x)+cos(2x)+1 利用了cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2=2*(cosx)^2-1公式
=2*sin(2x+π/6)+1
1.最小周期T=2π/2=π
2.当2x+π/6=π/2+2kπ时,即x=kπ+π/3 ,k为自然数
f(x)取最大值:3

f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x -π/6)+2cos²x
=2sin2xcosπ/6+1-cos2x
=根号3sin2x-cos2x+1
=2sin(2x-π/6)+1
(1),T=2π/2=π
(2),f(x)max=3
sin(2x-π/6)=1
2x-π/6=2kπ+π/2
x-π/12=kπ+π/4
x=kπ+π/3 (k∈Z)