a是实数，f(x)＝a−22x+1(x∈R)，用定义证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．
问题描述：
a是实数，f(x)＝a−
(x∈R)，用定义证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数． 2
2x+1
答
知识点：本题通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．
证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=(a−
)−(a−2
2x1+1
)-------------（2分）2
2x2+1
=
−2
2x2+1
=2
2x1+1
，-----------------（4分）2(2x1−2x2) (2x1+1)(2x2+1)
∵指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，
∴2x1＜2x2，可得2x1−2x2＜0，---------------------（6分）
又∵2x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，--------------（8分）
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
由此可得，对于任意a，f（x）在R上为增函数．----------（10分）
答案解析：设两个实数数x1、x2∈R，且x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差变形整理，再讨论得f（x1）＜f（x2），由此即可得到f(x)＝a−
在区间（0，2）上为减函数．2
2x+1
考试点：函数单调性的判断与证明．
知识点：本题通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．