某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体,经时间t落回抛出点,已知星球半径为R,若要在该星球上发射一颗靠近该星球运行的人造卫星,则环绕该星球运行的最小周期为多少

• yes?

•  

v=(1/2）gt 所以g=2v/t
mg=m(4π^2/T^2)R
所以T=π(√2Rt/v)

星球表面的重力加速度g,
在时间t内,速度从v变为了-v,速度改变了2v,
g=2v/t.
据GMm/r^2=m*[4π^2/T^2]*r,
T^2与r^3成正比,
当人造卫星的轨道半径r最小时,周期T最小,
人造卫星的轨道半径的最小值为R,
靠近该星球运行的人造卫星的周期最小.
对于靠近该星球运行的人造卫星,GMm/R^2=mg（即：重力等于引力）
mg=m*[4π^2/T^2]*R,
周期最小T=√ [2*π^2*Rt/v]

解题思路：先明确最小周期时的轨道半径，再计算出星球表面的重力加速度，然后万有引力提供向心力即可以得出答案。
万有引力提供向心力：F=GMm/r^2=mw^2r=m(2π/T)^2r;T^2=4πr^3/(GM)可知当该人造卫星的轨道半径近似为星球的半径时（r=R），卫星的周期最小。
设置向下为正向，从抛出点到最高点的时间为t1，最高点落回原点的时间为t2，星球表面的重力加速度为g，从抛出点到最高点的过程有-v=-gt1，即v=gt1，从最高点落回原点的过程有v=gt2，两式相加可得2v=g（t1+t2），而t1+t2=t，所以有g=2v/t，（竖直上抛运动上抛过程时间和下降到原点过程时间相同，全过程是匀加速运动，取其中的一个过程可直接建立等式v=gt/2也可等到同样的结论，或者将整个过程来建立等式，将向下为正向则有末速度-初速度=gt，即v-（-v）=gt，可一步到位）对于星球表面有：GM=gR^2，而前面已得出T^2=4πr^3/(GM)，则最小周期T^2=4πR^3/（gR^2）=4πR^3/（2v/tR^2），解出最小周期T=根号（2πtR/v）。也可以由重力加速度就是向心加速度来建立等式：w^2R=g=2v/t,即（2π/T）^2=2v/t,同样可解出最小周期。