直线l经过点P(2,1),倾斜角为α,它与椭圆x^/2+y^=1相交于A,B两点,求PA*PB的取值范

问题描述:

直线l经过点P(2,1),倾斜角为α,它与椭圆x^/2+y^=1相交于A,B两点,求PA*PB的取值范

直线l经过点P(2,1),倾斜角为α,可设直线的参数方程为x=2+tcosα,y=1+tsinα
椭圆方程化为 x²+2y²-2=0
把参数方程代入椭圆方程整理得(cos²α+2sin²α)t²+(4sinα+4cosα)t+4=0
上列关于t的方程的两根t1,t2就是PA和PB
∴有根和系数的关系得
PA*PB=t1*t2=4/((cos²α+2sin²α)=4/((1-sinα²α+2sin²α)=4/(sin²α+1)
∵0≤sin²α≤1
∴1≤sin²α+1≤2
∴1/2≤1/sin²α≤1
即1/2≤PA*PB≤1
请复核数字计算