设定函数f（x）=a3x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．
问题描述：
设定函数f（x）=
x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．a 3
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．
答
由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以a+2b+c-9=016a+8b+c-36=0（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得2b+c-6=08b+c+12=0解得b=-3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故...
答案解析：先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）-9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；
（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．
（2）f（x）在（-∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．
考试点：利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．