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如果椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 ___ ．

分类: 作业答案 • 2022-02-22 12:45:57
问题描述：

如果椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 ___ ．

答

设椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，|PF1|=d1，|PF2|=d2，离心率为e
由椭圆第二定义，点P到左准线的距离为

d1
e
，∴
d1
e
=d2，
又∵d1+d2=2a，∴
2a-d2
e
=d2，即d2=
2a
e+1

∵a-c≤d2≤a+c
∴a-c≤
2a
e+1
≤a+c，即1-e≤
2
e+1
≤1+e，
又∵0＜e＜1
∴解不等式得
 2
-1≤e＜1
故答案为[
 2
-1，1)
答案解析：先利用椭圆的第二定义：到左焦点的距离与到左准线的距离之比为常数e（离心率），用P到左焦点的距离表示P到左准线的距离，再利用椭圆的第一定义：到两焦点的距离之和为定值2a，且P到焦点的距离的取值范围为[a-c，a+c]，列出关于e的不等式即可解得椭圆的离心率的取值范围
考试点：椭圆的简单性质．

知识点：本题考察了椭圆的两个定义及两个定义间的关系，椭圆的标准方程及其几何意义，解题时重点掌握椭圆的两个定义

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