设曲线积分∫cxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ（x）具有连续的导数，且φ（0）=0，计算∫(1，1)(0，0)xy2dx+yφ(x)dy的值．
问题描述：
设曲线积分∫cxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ（x）具有连续的导数，且φ（0）=0，计算
xy2dx+yφ(x)dy的值．
∫
(1，1)
(0，0)
答
令P=xy2，Q=yφ（x）．因为曲线积分与路径无关，故有∂P∂y＝∂Q∂x，即：2xy=yφ′（x）．从而，φ′（x）=2x．解得，φ（x）=x2+c．代入φ（0）=0，可得c=0．所以 φ=x2，∫(1，1)(0，0)xy2dx+yφ(x)dy=∫(1，1)(0...
答案解析：因为曲线积分与路径无关，可得 φ（x）的一阶微分方程，求解可得φ（x）的表达式．在计算曲线积分的值时，因为积分与路径无关，故可取（0，1）→（1，0）→（1，1）．
考试点：平面上曲线积分与路径无关的条件．
知识点：本题考察了曲线积分与路径无关的条件．当曲线积分与路径无关时，为简单计算，我们通常取积分路径为分段直线．在本题计算中，也可以取积分路径为折线（0，0）→（0，1）→（1，1），或直线段（0，0）→（1，1）．