证明：曲线积分∫L(2xy-y^4+3)dx+(x^2-4xy^3)dy在xoy平面内与路径无关,并计算积分值,其中L为xoy平面上从点(1,0)到点(2,1)的一条光华曲线
问题描述：
证明：曲线积分∫L(2xy-y^4+3)dx+(x^2-4xy^3)dy在xoy平面内与路径无关,并计算积分值,其中L为xoy平面上从点(1,0)到点(2,1)的一条光华曲线
答
1、证：P=2xy-y⁴+3,Q=x²-4xy³
∂P/∂y=2x-4y³,∂Q/∂x=2x-4y³
由于∂P/∂y=∂Q/∂x,因此该积分与路径无关.
2、由于积分与路径无关,选两段折线为路线
L1：y=0,x：1→2
L2：x=2,y：0→1
∫L (2xy-y⁴+3)dx+(x²-4xy³)dy
=∫L1 (2xy-y⁴+3)dx+(x²-4xy³)dy+∫L2 (2xy-y⁴+3)dx+(x²-4xy³)dy
=∫[1→2] 3dx+∫[0→1] (4-8y³)dy
=3x |[1→2] + (4y-2y⁴) |[0→1]
=6-3+2
=5