设函数f(x)具有一阶连续导数 且f(0)=0 若曲线积分∫[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy与路径无关 则f(x)的表达式为多少?
问题描述：
设函数f(x)具有一阶连续导数 且f(0)=0 若曲线积分∫[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy与路径无关 则f(x)的表达式为多少?
杜绝复制粘贴
网上已经查过了 齐次微分知识我还没有学!
请用曲线积分这章的知识帮我解答
答
令p=[f(x)-e^x]siny q=-f(x)cosy因为积分与路径无关 所以(αp/αy)=(αq/αx)带入化解得：
f'(x)+f(x)=e^x
解之的
f(x)=e^(-∫dx)[c+∫(e^x)*e^(∫dx)]dx=(1/2)e^x+ce^(-x)
带入f(0)=0求出c=-1/2
所以f(x)=[e^x-e^(-x)]/2