已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）lna+b2．
问题描述：
已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）ln
． a+b 2
答
∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=lnx4−x．∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，不妨设a+b=4，则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•a+b2ln（a+b2）=（a+b）lna+b2．∴alna+bln...
答案解析：通过函数的导数，利用函数的最小值，然后证明：对a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln
；a+b 2
考试点：导数在最大值、最小值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．
知识点：本题考查函数的导数的应用，不等式的证明方法，考查转化思想的应用．