点(m,n)在直线ax+by+2c=0上移动,其中a,b,c为某一直角三角形的三边,且c为斜边,则m2+n2的最小值为______.

问题描述:

点(m,n)在直线ax+by+2c=0上移动,其中a,b,c为某一直角三角形的三边,且c为斜边,则m2+n2的最小值为______.

根据题意可知:当(m,n)运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时,m2+n2的值最小,
由三角形为直角三角形,且c为斜边,根据勾股定理得:c2=a2+b2
所以原点(0,0)到直线ax+by+2c=0的距离d=

|0+0+2c|
a2+b2
=2,
则m2+n2的最小值为4.
故答案为:4.
答案解析:由直角三角形且c为斜边,根据勾股定理表示出一个关系式,因为所求式子即为原点到已知点距离的平方,而点到直线的距离只有垂线段最短,利用点到直线的距离公式表示出原点到已知直线的距离,把表示出的关系式代入即可求出原点到已知直线的距离,平方即可得到所求式子的最小值.
考试点:点到直线的距离公式.
知识点:此题考查了点到直线的距离公式,以及勾股定理.理解当动点(m,n)运动到原点到已知直线垂直时垂足的位置时,所求式子达到最小是解本题的关键.