已知数列{an}的前项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令bn=an+1-2an，且a1=1．（1）求证数列{bn}是等比数列；（2）求数列{nbn}的前n项和Tn．
问题描述：
已知数列{an}的前项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令bn=an+1-2an，且a1=1．
（1）求证数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{nbn}的前n项和Tn．
答
（1）因为点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上；
∴Sn+1=4（an+2）-5=4an+3； ①
s2=4a1+3=a1+a2⇒a2=6；
∴Sn=4an-1+3；②
∴①-②：an+1=4an-4an-1；
∴an+1-2an=2（an-2an-1）；
数列{an-2an-1}是以2为首相，2为公比的等比数列；
即数列{bn}是等比数列；
所以：bn=an+1-2an=2n+1；
（2）∵nbn=n•2n+1；
∴Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1；③
∴2Tn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2；④
③-④：-Tn=1×22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=
-n•2n+2=4+（1-n）•2n+2；
22(1−2n) 1−2
∴Tn＝4+(n−1)•2n+2．
答案解析：（1）先根据已知条件得到Sn+1=4（an+2）-5=4an+3； 进而得到Sn=4an-1+3；另个等式相结合即可得到数列{an-2an-1}是以2为首相，2为公比的等比数列，即数列{bn}是等比数列；
（2）先求出数列{nbn}的通项公式，再利用错位相减法求数列{nbn}的前n项和Tn．
考试点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
知识点：本题主要考查数列通项公式与前n项和之间的关系，以及错位相减法求和．