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已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点．

分类: 作业答案 • 2022-02-19 19:49:22
问题描述：

已知线段AB过y轴上一点P（0，m）（m＞0），斜率为k，两端点A，B到y轴距离之差为4k（k＞0），
（1）求以O为顶点，y轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；
（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点．

答

（1）设AB的方程为y=kx+m，过A，B两点的抛物线方程x2=2py，A（x1，y1），B（x2，y2）则由x2=2py y=kx+m，可得x2-2pkx-2pm=0．（2分）∴x1+x2=2pk，又依题意有|x1+x2|=4k=2pk，∴p=2．∴抛物线方程为x2=4y．（6...
答案解析：（1）设AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由
x2=2py 
y=kx+m
，得x2-2pkx-2pm=0，利用韦达定理能求出p，从而求出抛物线方程．
（2）设M（x1，
x
2
1
4
），N（x2，
x
2
2
4
），Q（x0，-1），由kMQ=
x1
2
，知x12-2x1x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．
考试点：抛物线的标准方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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