已知:如图,AD=DC=BC,∠BCD=2∠BAD.求证:∠ABC=120°-∠BAD.

问题描述:

已知:如图,AD=DC=BC,∠BCD=2∠BAD.求证:∠ABC=120°-∠BAD.

证明:连接AC,过点D作AC的垂线,垂足为点M,延长MD交AB于E,连接EC.
∵AD=DC,DM⊥AC,
∴DM平分AC,
∴DM为AC的中垂线,
∵E在MD上,
∴AE=CE.
在△DCE与△DAE中,

CE=AE
CD=AD
DE=DE

∴△DCE≌△DAE,
∴∠DCE=∠DAE,∠DEC=∠DEA,
∵∠BCD=2∠BAD,
∴∠BCE=∠DCE=∠DAE.
在△DCE与△BCE中,
DC=BC
∠DCE=∠BCE
CE=CE

∴△DCE≌△BCE,
∴∠DEC=∠BEC,
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC,
又∵∠DEC+∠DEA+∠BEC=180°,
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC=60°,
∵∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE,
∴∠ABC=180°-60°-∠BAD=120°-∠BAD.
即∠ABC=120°-∠BAD.
答案解析:连接AC,过点D作AC的垂线,垂足为点M,由等腰三角形的性质可知DM为AC的中垂线,延长MD交AB于E,连接CE,利用SSS证明△DCE≌△DAE,再运用SAS证明△DCE≌△BCE,得出∠BEC=60°,然后利用三角形内角和证明∠ABC=120°-∠BAD.
考试点:全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
知识点:本题主要考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质,三角形内角和定理,综合性较强,有一定难度,正确地作出辅助线是解题的关键.