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已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e为63，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程．

分类: 作业答案 • 2022-02-14 11:10:09
问题描述：

已知椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e为
 6
3
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
 3
2
，求椭圆的标准方程．

答

直线AB的方程为

x
a
+
y
−b
=1即bx-ay-ab=0，
由题意得
ab
 a2+b2
=
 3
2
①
∵
c
a
=
 6
3
②
a2=b2+c2③
解①②③得a=
 3
，b=1．
∴椭圆的标准方程为
x2
3
+y2=1．
答案解析：利用直线的截距式写出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．
考试点：椭圆的简单性质；点到直线的距离公式．
知识点：本题考查椭圆的方程和性质及运用，主要是离心率，考查运算能力，考查求圆锥曲线的方程的一般方法是利用待定系数法．

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