已知椭圆C;x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),其焦距为2c,若c/a=(根号5-1)/2,则称椭圆C为黄金椭圆求证黄金椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),中,a,b,c成等比数列

问题描述:

已知椭圆C;x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),其焦距为2c,若c/a=(根号5-1)/2,则称椭圆C为黄金椭圆
求证黄金椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),中,a,b,c成等比数列

c/a=(√5-1)/2,
令c=(√5-1)t,a=2t
则b²=a²-c²=4t²-(√5-1)²t²=(4-5-1+2√5)t²=(2√5-2)t²=ac
所以 b/a=c/b
所以 a,b,c成等比数列