已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2=b（b+c）．（1）求证：∠A=2∠B；（2）若a=3b，判断△ABC的形状．
问题描述：
已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2=b（b+c）．
（1）求证：∠A=2∠B；
（2）若a=
b，判断△ABC的形状．
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答
（1）证明：a2=b（b+c），
即BC2=AC（AC+AB），
延长CA至D，使AD=AB，连接DB．
则∠BAC=2∠D．
∴BC2=AC•CD，
＝BC AC
，CD BC
又∠C=∠C，
∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．
∴∠BAC=2∠ABC；
（2）∵a=
b，
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∴a2=3b2，
又a2=b（b+c），
∴3b2=b2+bc，c=2b．
∴a2+b2=4b2，
c2=（2b）2=4b2．
即a2+b2=c2．
△ABC为直角三角形．
答案解析：（1）延长CA至D，使AD=AB，连接DB．根据a2=b（b+c）得到△BCA∽△DCB，然后由三角形中角的关系得答案；
（2）由a=
b结合a2=b（b+c）得到a2+b2=c2，说明△ABC为直角三角形．
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考试点：三角形的形状判断．
知识点：本题考查了三角形形状的判断，训练了利用三角形相似求解三角形中角的关系，是中档题．