已知椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>b>0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线的两倍,则该椭圆离心率的最小值为?
问题描述：
已知椭圆(x/a)^2+(y/b)^2=1(a>b>0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线的两倍,则该椭圆离心率的最小值为?
答
不知道这样做对不对
首先假设点M到左焦点距离为m,则它到右焦点的距离为2a-m,它到右准线的距离为(2a-m)*(a/c)
所以有2(2a-m)*(a/c)=m 变量分离的到m=4a^2/(c+2a)
易知(a-c)所以带入求解,发现m>=(a-c)恒成立,
后半个不等式为c^2-2a^2+3ac>=0
不等式左右两边同时除以a^2
得到,e^2-2+3e>=0
所以解得e>=[（根号17）-3]/2
所以最小值为[（根号17）-3]/2