已知,如图,梯形ABCD中,AB＝CD ,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 .求
问题描述：
已知,如图,梯形ABCD中,AB＝CD ,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 .求
证EF=DH
答
证明：设DH交AC于点E
因为AB=CD,AD//BC,所以：梯形ABCD是等腰梯形
则∠ABC=∠DCB
又BC是公共边
所以△ABC≌△DCB (SAS)
则∠ACB=∠DBC
又AC⊥BD
所以△BOC是等腰直角三角形
则∠ACB=∠DBC＝45°
而由AD//BC得∠CAD=45°
因为DH⊥BC亦即DH⊥AD
所以△ADE和△CEH都是等腰直角三角形
则AD=DE,CH=EH
又易知CH=1/2 *(BC-AD)
所以DH=DE+EH=AD+1/2 *(BC-AD)=1/2 *(BC+AD) (1)
因为EF为梯形ABCD的中位线,所以：
EF=1/2 *(BC+AD) (2)
所以由(1).(2)两式可知：EF=DH