已知方程:x3-3x2+(m+2)x-m=0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长,则实数m的取值范围是( ) A.0<m<1 B.m>34 C.34<m<1 D.1<m<43
问题描述:
已知方程:x3-3x2+(m+2)x-m=0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长,则实数m的取值范围是( )
A. 0<m<1
B. m>
3 4
C.
<m<13 4
D. 1<m<
4 3
答
∵x3-3x2+(m+2)x-m=(x3-x2)-[2x2-(m+2)x+m]=x2(x-1)-(2x-m)(x-1)=(x-1)(x2-2x+m)=0,
∴x-1=0或x2-2x+m=0,
∴有一根为1,
∵x3-3x2+(m+2)x-m=0的三个互不相等的实数根,
∴x2-2x+m=0有两个不相等的实数根为一个三角形三边的长,
∴△=(-2)2-4m>0,
解得:m<1,
设x1,x2是x2-2x+m=0的两根,
则x1+x2=2,x1•x2=m,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1,x2=4-4m,
∵|x1-x2|<1,
∴4-4m<1,
解得:m>
,3 4
∴实数m的取值范围是:
<m<1.3 4
故选C.