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数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2， （1）求常数p的值； （2）证明：数列{an}是等差数列．

分类: 作业答案 • 2022-02-08 09:23:14
问题描述：

数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，
（1）求常数p的值；
（2）证明：数列{an}是等差数列．

答

（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，
∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1．则a1=0．
当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p-1）a2=0．
∵a1≠a2，故p=

1
2
．
（2）由已知Sn=
1
2
nan，a1=0．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=
1
2
nan-
1
2
（n-1）an-1．
∴
an
an−1
=
n−1
n−2
．则
an−1
an−2
=
n−2
n−3
，
a3
a2
=
2
1
．
∴
an
a2
=n-1．∴an=（n-1）a2，an-an-1=a2．
故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列．

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