已知：二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2m-3，其中m为实数．（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1、x2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式．
问题描述：
已知：二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1、x2的倒数和为
，求这个二次函数的解析式． 2 3
答
知识点：主要考查了二次函数图象的性质与一元二次方程根的情况之间的关系，以及根与系数的关系的运用．
（1）∵△=b2-4ac=[-2（m-1）]2-4（m2-2m-3）=4m2-8m+4-4m2+8m+12=16＞0，
∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）∵x1+x2=2（m-1），x1x2=m2-2m-3，
+1 x1
=1 x2
，2 3
即
=
x1+x2
x1x2
，2 3
=2(m−1)
m2−2m−3
，2 3
解得m=0或5，
二次函数解析式为：y=x2+2x-3或y=x2-8x+12．
答案解析：判断二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2m-3与x轴的交点情况，需要把问题转化为求方程x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0的判别式的符号．而已知二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），相当于已知此方程两根为x1，x2．可运用根与系数的关系解题，所求m的值不受限制，结果有两个．
考试点：抛物线与x轴的交点．
知识点：主要考查了二次函数图象的性质与一元二次方程根的情况之间的关系，以及根与系数的关系的运用．