如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,AC=AB,双曲线y=kx经过C点①求双曲线的解析式;②点P为第四象限双曲线上一点,连接BP,点Q(x、y)为线段AB上一动点,过Q作QD⊥BP,若QD=n,问是否存在一点P使y+n=3?若存在,求直线BP解析式;若不存在,说明理由.

问题描述:

如图,直线y=3x+3与x轴交于A点,与y轴交于B点,以AB为直角边作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,AC=AB,双曲线y=

k
x
经过C点

①求双曲线的解析式;
②点P为第四象限双曲线上一点,连接BP,点Q(x、y)为线段AB上一动点,过Q作QD⊥BP,若QD=n,问是否存在一点P使y+n=3?若存在,求直线BP解析式;若不存在,说明理由.

①过点C作CD⊥x轴于点D.
由y=3x+3得,A(-1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3.
∵∠CAD+∠BAO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CAD=∠AOB.
∵AC=AB,∠CAD=∠AOB=90°,
∴△ADC≌△BOA,
∴CD=OA=1,AD=OB=3,
∴OD=OA+AD=4,
∴C(-4,1),
∴k=xy=(-4)×1=-4,
∴该双曲线的解析式是y=-

4
x

②过点Q作QM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.
∵∠MON=90°,
∴四边形OMQN是矩形,
∴QM=ON.
∵y+n=3,OM=3,
∴ON+QD=OB,
∵ON+BN=OB,
∴QD=BN.
∵∠QNB=∠BDQ=90°,BQ=QB,
∴△BQN≌△QBD,
∴∠BQN=∠QBD,
∵QN∥OA,
∴∠BQN=∠BAO,
∴∠BAO=∠QBD,
∴AE=DE.
设OE=x.则BE=AE=x+1.
在直角△BOE中,由勾股定理,得
32+x2=(x+1)2
解得,x=4,
∴E(4,0).
设直线BP的解析式是:y=kx+b(k≠0)
b=3
4k+b=0

解得
k=−
3
4
b=3

∴y=-
3
4
x+3.
答案解析:①过点C作CD⊥x轴于点D,构建全等三角形△ADC≌△BOA;然后根据全等三角形的对应边相等求得点C的坐标;最后由待定系数法求双曲线的解析式.
②过点Q作QM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.构建全等三角形△BQN≌△QBD;然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理(在直角△BOE中)求得点E的坐标;最后把点B、E的坐标分别代入一次函数解析式,利用待定系数法来求直线BP的解析式.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式.在设一次函数解析式时,不要忘记自变量x的系数不为零.