设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为3/4和4/5,且各次射击相互独立. (Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标

问题描述:

设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3
4
4
5
,且各次射击相互独立.
(Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率;
(Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率.

(Ⅰ)设A表示甲命中目标,B表示乙命中目标,
则A、B相互独立,
且P(A)=

3
4
,P(B)=
4
5

从而甲命中但乙未命中目标的概率为
P(A•
.
B
)=P(A)•P(
.
B
)=
3
4
×(1−
4
5
)=
3
20
.

(Ⅱ)设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次,B
1表示乙有两次射击中恰好命中l次.
依题意有P(A1)=
C k2
(
3
4
)k(
1
4
)2−k,k=0,1,2.

P(B1)=
C l2
(
4
5
)l(
1
5
)2−l,l=0,1,2.

由独立性知两人命中次数相等的概率为
P(A0B0)+P(A1B1)+P(A2B2
=P(A0)P(B0)+P(A1)P(B1)+P(A2)+P(B2
(
1
4
)2•(
1
5
)2+
C 12
3
4
1
4
C 23
4
5
1
5
+
C 22
•(
3
4
)2
C 22
•(
4
5
)2

=
1
16
×
1
25
+
3
4
×
4
25
+
9
16
×
16
25
193
400
=0.4825.