设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立.(Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率;(Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率.

问题描述:

设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3
4
4
5
,且各次射击相互独立.
(Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率;
(Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等的概率.

(Ⅰ)设A表示甲命中目标,B表示乙命中目标,
则A、B相互独立,
且P(A)=

3
4
,P(B)=
4
5

从而甲命中但乙未命中目标的概率为
P(A•
.
B
)=P(A)•P(
.
B
)=
3
4
×(1−
4
5
)=
3
20
.

(Ⅱ)设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次,B
1表示乙有两次射击中恰好命中l次.
依题意有P(A1)=
C
k
2
(
3
4
)k(
1
4
)2−k,k=0,1,2.

P(B1)=
C
l
2
(
4
5
)l(
1
5
)2−l,l=0,1,2.

由独立性知两人命中次数相等的概率为
P(A0B0)+P(A1B1)+P(A2B2
=P(A0)P(B0)+P(A1)P(B1)+P(A2)+P(B2
(
1
4
)2•(
1
5
)2+
C
1
2
3
4
1
4
C
2
3
4
5
1
5
+
C
2
2
•(
3
4
)2
C
2
2
•(
4
5
)2

=
1
16
×
1
25
+
3
4
×
4
25
+
9
16
×
16
25
193
400
=0.4825.

答案解析:本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式和加法公式,
(Ⅰ)甲、乙各射击一次,甲命中但乙未命中目标,分为两步,由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为
3
4
4
5
,我们易得甲命中但乙未命中目标的概率P(A•
.
B
)=P(A)•P(
.
B
)
,代入计算即可得到结果;
(Ⅱ)甲、乙各射击两次,求两人命中目标的次数相等,包括三种情况,即均不中,均中一次,均中两次,则两人命中次数相等的概率为
P(A0B0)+P(A1B1)+P(A2B2),代入计算即可得到答案.
考试点:相互独立事件的概率乘法公式;n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
知识点:本小题主要考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,要想计算一个事件的概率,首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步),然后再利用加法原理和乘法原理进行求解.