已知圆M过两点C(1,-1)、D(-1,1)且圆心M在直线x+y-2=0上. (1)求圆M的方程; (2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB的面积的最小值.

问题描述:

已知圆M过两点C(1,-1)、D(-1,1)且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB的面积的最小值.

(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得

(1−a)2+(−1−b)2r2
(−1−a)2+(1−b)2r2
a+b−2=0
,解得:a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4;
(2)由题知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=
1
2
(|AM||PA|+|BM||PB|).
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,
即S=2
|PM|2−4

因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min=
3+4+8
5
=3,所以四边形PAMB面积的最小值为2
|PM|2−4
=2
5