已知圆M过两点C(1,-1)、D(-1,1)且圆心M在直线x+y-2=0上. (1)求圆M的方程; (2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB的面积的最小值.
问题描述:
已知圆M过两点C(1,-1)、D(-1,1)且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB的面积的最小值.
答
(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得
,解得:a=b=1,r=2,
(1−a)2+(−1−b)2=r2
(−1−a)2+(1−b)2=r2
a+b−2=0
故所求圆M的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4;
(2)由题知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=
(|AM||PA|+|BM||PB|).1 2
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,
即S=2
.
|PM|2−4
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min=
=3,所以四边形PAMB面积的最小值为23+4+8 5
=2
|PM|2−4
.
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