若abc都是正数,证明a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)>=(a+b+c)/2
问题描述：
若abc都是正数,证明a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)>=(a+b+c)/2
答
证法一:
a、b∈R+,由均值不等式有
a^2/(a+b)+(a+b)/4≥a
b^2/(b+c)+(b+c)/4≥b
c^2/(c+a)+(c+a)/4≥c
三式相加并整理,得
a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a)≥(a+b+c)/2.
证法二:
由Cauchy不等式,得
a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a)≥(a+b+c)^2/[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
∴a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a)≥(a+b+c)/2.