已知abc成等差数列,试判断a2(b+c) b2(c+a) c2(a+b)是否成等差数列

问题描述:

已知abc成等差数列,试判断a2(b+c) b2(c+a) c2(a+b)是否成等差数列

要证是等差数列,即证a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a)成立,因为a+c=2b,将上式的b换成a和c即可,在算时利用立方和即能证明成立

a²(b+c)+c²(a+b)
=a²b+a²c+ac²+bc²
=b(a²+c²)+ac(a+c)
因为abc成等差数列,所以2b=a+c
所以原式=b(a²+c²)+ac(2b)
=b(a²+c²+2ac)=b(a+c)²=b(2b)²=4b³=2b²(a+c)
所以是等差数列