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已知F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，3/2）到F1、F2两点的距离之和等于4． （1）写出椭圆C的方程和焦点坐标； （2）设点K是椭圆上的动点，求线段F1K

分类: 作业答案 • 2022-01-24 19:24:41
问题描述：

已知F1、F2分别为椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F1、F2两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．

答

（1）∵椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，
且椭圆上的点A到焦点F1、F2的距离之和是4，
∴2a=4，即a=2；
又∵点A（1，
3
2
）在椭圆上，
∴
1
22
+
9
4b2
=1，
∴b2=3，∴c2=a2-b2=1；
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
x2
3
=1，
焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
（2）设椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1上的动点K为（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y），
∴x=
−1+x1
2
，y=
0+y1
2
；
∴x1=2x+1，y1=2y；
代入椭圆方程，得
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1；
即(x+
1
2
)2+
4y2
3
=1为所求中点的轨迹方程．

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