已知数列an,a1=1,他的前n项和为Sn,且满足an+1=Sn+n+1.求证：（1）an+1是等差数列 （2）求an和Sn的表达式
问题描述：
已知数列an,a1=1,他的前n项和为Sn,且满足an+1=Sn+n+1.求证：（1）an+1是等差数列 （2）求an和Sn的表达式
答
a(n+1)=Sn+n+1
an=S(n-1)+(n-1)+1=S(n-1)+n
相减,Sn-S(n-1)=an
所以a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
[a(n+1)+1]/(an+1)=2是一个不等于0的常数,
所以an+1是等比数列
[a(n+1)+1]/(an+1)=2,q=2
令bn=an+1,则b1=a1+1=2
所以bn=2*2^(n-1)=2^n
所以an=bn-1=2^n-1
Sn=(2^1+2^2+……+2^n)-1*n=2*(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-2-n